B-树
1 .B-树定义
B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。
定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：
⑴树中每个结点至多有m 棵子树；
⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；
⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：
（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki
Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.
n 为关键码的个数。
⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。
即所有叶节点具有相同的深度，等于树高度。
如一棵四阶B-树，其深度为4.
B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。
在上图的B-树上查找关键字47的过程如下：
1）首先从更开始，根据根节点指针找到 *节点，因为 *a 节点中只有一个关键字，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。
2）顺指针找到 *c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。
3）同样，顺指针找到 *g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。
2. 查找算法
复制代码 代码如下:
typedef int KeyType ;
#define m 5 /*B 树的阶，暂设为5*/
typedef struct Node{
int keynum; /* 结点中关键码的个数，即结点的大小*/
struct Node *parent; /*指向双亲结点*/
KeyType key[m+1]; /*关键码向量，0 号单元未用*/
struct Node *ptr[m+1]; /*子树指针向量*/
Record *recptr[m+1]; /*记录指针向量*/
}NodeType; /*B 树结点类型*/
typedef struct{
NodeType *pt; /*指向找到的结点*/
int i; /*在结点中的关键码序号，结点序号区间[1…m]*/
int tag; /* 1:查找成功，0:查找失败*/
}Result; /*B 树的查找结果类型*/
Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx)
{
/*在m 阶B 树t 上查找关键码kx，反回(pt,i,tag)。若查找成功，则特征值tag=1，*/
/*指针pt 所指结点中第i 个关键码等于kx；否则，特征值tag=0,等于kx 的关键码记录*/
/*应插入在指针pt 所指结点中第i 个和第i+1 个关键码之间*/
p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; /*初始化，p 指向待查结点，q 指向p 的双亲*/
while(p&&!found)
{ n=p->keynum;i=Search(p,kx); /*在p-->key[1…keynum]中查找*/
if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; /*找到*/
else {q=p;p=p->ptr[i];}
}
if(found) return (p,i,1); /*查找成功*/
else return (q,i,0); /*查找不成功，反回kx 的插入位置信息*/
}
B- 树查找算法分析
从查找算法中可以看出， 在B- 树中进行查找包含两种基本操作:
( 1) 在B- 树中查找结点；
( 2) 在结点中查找关键字。
由于B- 树通常存储在磁盘上， 则前一查找操作是在磁盘上进行的， 而后一查找操作是在内存中进行的， 即在磁盘上找到指针p 所指结点后， 先将结点中的信息读入内存， 然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。显然， 在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多.
因此， 在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B- 树上的层次树， 是决定B树查找效率的首要因素
那么，对含有n 个关键码的m 阶B-树，最坏情况下达到多深呢？可按二叉平衡树进行类似分析。首先，讨论m 阶B-数各层上的最少结点数。
由B树定义：B树包含n个关键字。因此有n+1个树叶都在第J+1 层。
1）第一层为根，至少一个结点，根至少有两个孩子，因此在第二层至少有两个结点。
2）除根和树叶外，其它结点至少有[m/2]个孩子,因此第三层至少有2*[m/2]个结点,在第四层至少有2*[m/2]2 个结点…
3）那么在第J+1层至少有2*[m/2]J-1个结点,而J+1层的结点为叶子结点,于是叶子结点的个数n+1。有：
也就是说在n个关键字的B树查找，从根节点到关键字所在的节点所涉及的节点数不超过：
3.B-树的插入
B-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。但由于B-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”，
如图（a） 为3阶的B-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。
1) 首先通过查找确定插入的位置。由根*a 起进行查找，确定30应插入的在*d 节点中。由于*d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如（b）
2) 同样，通过查找确定关键字26亦应插入 *d. 由于*d节点关键字数目超过2，此时需要将 *d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 *d 节点中，而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 *d` 中。同时将关键字30 和指示节点 *d `的指针插入到其双亲的节点中。由于 *b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)
3) (e) -(g) 为插入85后;
插入算法：
复制代码 代码如下: